和算 (Wasan (Japanese mathematics))
和算（わさん）とは日本独自に発達した数学である。
狭義には大いに発展した江戸時代の関孝和以降のそれを指すが、西洋数学導入以前の数学全体を指すこともある。
欧州の影響外で独自に様々な高度な数学、代数学、積分法、幾何が発展した。
江戸時代以前
和算は中国の数学から多大な影響を受けている。
中国では『九章算術』と呼ばれる数学書が前漢には登場していた。
「九章算術」では面積の計算法、比例、反比例、ピタゴラスの定理などが紹介されている。
7世紀以降、遣隋使、遣唐使の派遣などにより、中国の文化が日本に次々と流入するようになる。
中国の律令制を元に作られた大宝律令では、算博士・算師と呼ばれる官職が定められていた。
算博士は算師の育成にあたるとともに、『九章算術』を始めとした中国の算書の知識が要求された（算道）。
万葉集には次のような歌がみられる。
若草乃 新手枕乎 巻始而 夜哉将間 二八十一不在國 （わかくさの にひたまくらを まきそめて よをやへだてる にくくあらなくに 巻十一 2542番）
「くく」という読みに「八十一」という漢字が当てられており、すでに九九が日本で知られていたことがわかる。
中世および江戸時代以前の近世において、どのような数学が行われたかは全く分かっていない。
九章算術などは散逸してしまったようであるが、土木、建築、財務、暦の計算などにある程度の数学が必要であったことは確かである。
江戸時代の古老が太閤検地のころは算木を使った、と回想しており、また『塵劫記』の開平計算が算木による方法に近いことから、江戸時代直前まで算木が優勢であったと思われる。
日常の計算を電卓の普及まで担い続けたそろばんは、いつ導入されたかは不明であるが、毛利重能の『割算書』（1622年、元和８年）ではそろばんを用いた計算が解説されている。
江戸時代
江戸時代に日本の数学は大いに発展した。
このきっかけになったのが1627年、京都の吉田光由によって書かれた『塵劫記』である。
明の算術書『算法統宗』を模範としたもの。
そろばんの使用法や測量法といった実用数学に加え、「継子立て」や「ねずみ算」といった数学遊戯が紹介されている。
『塵劫記』はベストセラーとなり、初等数学の標準的教科書として江戸時代を通じて用いられた。
また、本書を模倣したり、書名を『○○塵劫記』としたものも多く出版された。
『塵劫記』は初等的な教科書だったが、ある版には巻末に他の数学者への挑戦として、答えをつけない問題（遺題）を出した。
これ以降、先に出された遺題を解き新たな遺題を出すという連鎖（遺題継承）が始まり、和算で扱われる問題は急速に実用の必要を超え、技巧化・複雑化した。
そして、その中に簡単な算術的手法では手に負えない問題が現れるようになった。
沢村一之は『古今算法記』で中国の天元術、すなわち一変数の代数方程式とその数値的解法を導入し、また、同書の遺題で天元術では扱えない複数の変数をもった代数方程式を必要とする問題を提出した。
これに応えて、江戸の関孝和や京都の田中由真（たなかよしざね）があいついで点竄術（傍書法）を創造した。
ここにおいて、日本の数学はそれまで全ての規範であった中国数学の学習の範囲を超えて独創の段階に入り、日本独自の「和算」が生まれた。
また、江戸初期には数学の中心は京阪地方だったが、このころから江戸の関孝和の学統、関流が圧倒的な主流派になってゆく。
（この為か、京阪地方の和算家の実態があまり今日に伝わっていない。）
遺題継承の結果、高度な代数、整数方程式論、解析学、幾何学が実用の範囲を超えて発達した。
それらの成果の中には西洋での発見と同時期、又はより早く発見されていたものもある。
総合的に評価して、西洋数学との差は論じるまでもないが、その発展の速さは驚異的であった。
和算における解析学に関連した研究を、円理という。
関孝和やそれ以前は円周率、球の体積や表面積が主な問題となったので、その名がある。
例えば、関孝和は円に接する正多角形の辺の長さを用い、円周率を11桁まで得ている。
また、関の弟子である建部賢弘は同様の手法をRichardson補外と組み合わせて、42桁まで正しい値を計算している。
彼はさらに進んで、数値計算の結果を手がかりに (arcsin x)2の冪級数展開を世界で初めて計算した。
また、同年に大阪の鎌田俊清もarcsin(x), sin(x)の冪級数展開を求めた。
以降、関流に属する松永良弼、久留島喜内、安島直円、和田寧らによってさらに研究がすすんだ。
特に和田寧の円理表の出現によって、複雑な図形の面積や、立体の体積、重心、曲線の長さなど、今日の積分法に相当する計算がかなり自在にできるようになった。
ただし、積分の記号があったわけではなく、無限級数（と解釈できるもの）でこれらのものを表現した。
一方、微分の概念は和算ではあまりはっきりと立ち現れてこない。
これは、和算が「グラフ」の概念を欠いていたことが一つの理由であろう。
ただ、代数方程式の重解の考察にからんで多項式の微分が関孝和以来扱われている。
しかし、関による定義は、f(x+e)をeについて整理したときの一次の項で、接線との関係は全く念頭にない。
建部賢弘はこれを多項式関数の極値問題に応用している。
彼は、数値的に微小な差分をとった時の主要項と、関の定義による導多項式が一致していることには気がついていたようである。
また、久留島義太は極値問題を級数展開の視点で考察し、微分法の一歩手前まで来ている。
同じ脈絡で、和田寧はフェルマーの方法、すなわち (f(x + e/2) - f(x - e/2))/e を計算し、e 0 とする方法を発表している。
微分が発達しなかった為、和算では微分積分学の基本定理がなかった。
したがって、微分の逆で積分を計算することも、部分積分を利用することもできなかった。
複雑な関数の積分は、冪級数展開と級数の和の公式を巧みに用いた。
整数方程式や整数論では中国数学の伝統を引き継ぎ、さらに深い研究が進んだ。
たとえば、関孝和は一次連立不定方程式の一般解を与え、久留島義太はオイラー関数を導入している。
和算の中心的な手法は数値計算的な代数であった。
特に関孝和や建部のころは、図形の問題はピタゴラスの定理など、簡単な関係を用いて代数の問題に直して処理していた。
算額に見られるような、互いに接する円や楕円の関係を求める問題は、松永良弼のころから盛んになる。
次の世代の安島直円は、三斜三円術（マルファッティの定理）などを発見し、これらの問題の系統的な解法の発展に寄与した。
幕末には法導寺善が反転で円を直線に写して簡略化する手法を導入した。
近年、和算で発見された幾何の美しい定理は（趣味的な観点からではあるが）注目を浴び、海外にも広く紹介されている。
ただし、問題の処理にあたって代数計算や数値計算に頼る傾向が最後まで残った。
また、作図問題などはあまり扱われず、いわんやユークリッド流の公理的な幾何学などは全く受け入れられなかった。
幕末、海軍伝習所で教えた外国人教官の追憶によると、日本人は代数の理解は早かったが、幾何は中々進まなかったという。
和算における多くの成果は各流派の中で秘伝とされ続けてきた。
（実際にどの程度秘密が守られたかは不明。）
しかし、関流算術を学んだ久留米藩主・有馬頼ゆきは1769年に出版した著書『拾璣算法』において関流の秘伝を公開し、和算文化の向上に大きな貢献を果たした。
また、幕末の長谷川寛監修、千葉胤秀編の『算法新書』（1830年）では、初歩から最先端の結果までを丁寧に解説した。
明治時代以後
明治時代に入ると、西洋数学が本格的に導入される（「和算」という語は西洋数学を表す「洋算」に対する日本数学の名で、この頃生まれた。）。
そして、それにより和算は衰退してゆくこととなる。
その象徴的出来事は明治5年（1872年）の学制発布の際、時の政府が「和算を廃止し、洋算を専ら用ふるべし。」と決断したことである。
（翌年、珠算のみ復活）
しかし、明治の初めの西洋数学導入は、技術を支える道具の輸入という面が強く、初期の「洋算家」には技術者など数学の専門家とは言えないものも多かった。
明治10年（1877年）の日本数学会の前身、東京数学会社の設立には多数の和算家が参加しており、むしろ和算家の方が数学力は優れたものが多かったという。
そして、このころになっても未だ、新たな和算書が出版されている。
また、和算への批判は「応用に役に立たない」というものが主流であった。
本格的な西洋数学への移行は1884年、東京数学会社が日本数学物理学会に改組されたころである。
本格的な西洋数学導入までの間、和算（又は和算家）は応用面においても近代化を支えた。
1873年の太陽暦採用の主役を務めたのは関流の有力な和算家、内田五観であった。
福田理軒のように測量で活躍したものもあった。
幕末・明治初めの技術官僚小野友五郎も和算家であり、咸臨丸の航路の計算には和算を用いたという。
また、大工のための作図技術である規矩術は幕末期より和算の応用によって理論的に整備された。
明治以降も引き続き研究が進み、しかも明治20年ころのものでも和算の影響が濃厚である。
明治の初等教育でも和算家は活躍しつづけ、現在の算数の鶴亀算などはその名残りだという。
数学の専門家を輩出しえた社会的背景としては、貨幣経済の興隆の他、国絵図作成、新田開発などのための測量に対する需要があると推測される。
また、暦学にも高度な数学が必要であった。
関孝和は甲州藩の国絵図の作成に参加し、（実現はしなかったものの）改暦の準備のために授時暦の研究をしている。
とくに後者は、関孝和の数学研究の重要な動機である、との説もある。
算木とそろばん
和算で用いられる道具として算木とそろばんが挙げられる。
いずれも『算法統宗』に使用法が紹介されている。
また、『塵劫記』にはそろばんの使用法が絵入りで丁寧に解説されている。
そろばんは会計等広く用いられたのに対し、算木は専ら和算家によって、天元術（中国の代数方程式の理論）などの計算に用いられた。
天元術では、算盤（さんばん）と呼ばれる表と算木を用いた。
算盤とは碁盤の目状になった表であり、各列が一、十、百、千、万といった桁を表し、各行は商（答え）、実（定数項）、方 (x)、廉 (x2)、隅 (x3)、三乗 (x4)…と代数方程式の解および各係数を表した。
各升目に置かれた算木を並べ替えることで、代数方程式を解いていった。
関孝和は算木を用いずに筆算により代数方程式を解く計算法を編み出した。
この方法は後に点竄術（てんざんじゅつ）とよばれ、和算の中心的な手法となった。
算額
算額（さんがく）とは額や絵馬に数学の問題や解法を記して、神社や寺院に奉納したものである。
平面図形に関する問題の算額が多い。
数学者のみならず、一般の数学愛好家も数多く奉納している。
算額は数学の問題が解けたことを神仏に感謝し、益々勉学に励むことを祈願して奉納されたと言われる。
やがて、人の集まる神社仏閣を数学の発表の場として、難問や問題だけを書いて解答を付けずに奉納するものも現れ、その問題を見て解答を算額にしてまた奉納するといったことも行われた。
算額奉納の習慣は世界に例を見ず、日本独自の文化である。
明治時代になり鎖国が解けると、日本には洋算が導入されるようになったが、この導入を容易にしたことにも算額を奉納する風習が貢献した。
1997年に行われた調査結果によると、日本全国に975面の算額が現存している（『例題で知る日本の数学と算額』森北出版）。
これら現存する算額で最も古いものは栃木県佐野市にある星宮神社 (佐野市)にあり、1657年に掲げられたとされる。
算額を扱った小説として遠藤寛子 (作家)『算法少女』がある。
和算の発展に関わった人物
毛利重能
吉田光由
今村知商
- 『竪亥録（じゅがいろく）』(1639)。
測量や求積に関係する公式集。
漢文で専門家向けに書かれた。
弓型の孤と弦の関係に関する近似公式が見られる。
沢口一之
田中由真
- 京都の和算家。
筆算による多変数代数。
小さなサイズの行列式と終結式。
関孝和と独立。
魔方陣、数学遊戯の研究。
『算法明解』（1679）『算学紛解』(1690頃）
井関知辰
- 大阪の和算家。
行列式、終結式の理論。
関と独立。
『算法発揮』1690年
鎌田俊清
- 大阪の和算家。
円の内接及び外接多角形の周の計算から、円周率の上限と下限を評価。
さらに、arcsin, sin などの無限級数展開を『宅間流円理』(1722)で発表。
これは建部とならんで日本初の無限級数展開。
『円理秘術』。
関孝和
建部賢弘
荒木村英 関流初伝。
関孝和の死後、その遺稿を整理し『括要算法』を編集した。
数学上、目立った業績はなく、『括要算法』に誤字が多いのも荒木の実力不足ゆえ、とも。
中根元圭
- 和算家。
「律原発揮」（1692年）において1オクターヴを12乗根に開き十二平均律を作る方法を発表した。
また、暦学に詳しく、建部とともに吉宗に西洋暦法の導入、漢訳西洋天文学書の輸入の必要性を訴えた。
数学のみならず、諸学に造詣が深かった。
京都出身で、数学は初め田中由真に学んだが、後に建部の門下に入っている。
久留島義太
- ?－1757（宝暦7）詰将棋の作者としても有名。
松永良弼
- 無限級数、とくに和算で最初の二重級数。
建部によって本格的に開始された円理の研究を本格化した。
その著作に多く友人の久留島の業績を紹介。
関流二伝。
山路主住
- 関流三伝。
関流の制度を整え、弟子を養成。
安島直円
会田安明
藤田貞資
- 1734－1807（享保19－文化4）すぐれた教育者で和算の普及に大いに貢献。
不要に複雑な問題をさけ、系統的で一般的な解法を重んじた。
『精要算法』（1781）。
会田安明との論戦でも有名。
関流四伝。
和田寧
- 1787－1840 (天明7－天保11) 円理表（様々な関数の 0,1 区間 (数学)の定積分の結果を表にしたもの）完成者として名高い。
また、安島の二重級数の理論を一般化。
これらにより、複雑な求積問題がたやすく解かれるようになった。
微分のフェルマーの方法も発表し、極値問題に応用している。
播州三日月藩土から増上寺の寺侍となったが，素行不良のゆえに追放され、数学、書道の教授と易で生計を立てる。
浪費がはなはだしく、死後に妻子は路頭に迷ったという。
しかし、その独創性は著しく当時の和算の大家の多くが和田の円理表を見るために入門している。
武田真元
法導寺善
- 1820－1868 幕末に活躍。
当時、互いに接する多数の円の半径の関係を求める問題が広く扱われた。
これを簡単化するため、算変法を導入し、円の一つを直線に変換することで計算を簡略化した。
これは現在の反転に相当する。
そのほか、図形の重心問題やサイクロイドに関係した問題を扱う。
内田五観